19 novembre 2007
Le calculateur prodige !
Je rentrais dans le métro quand j'ai lu dans les infos à propos d'un nouvel exploit de calcul mental réalisé par le français Alexis Lemaire. Selon la nouvelle, Alexis Lemaire a réussit de calculer mentalement la racine treizième d'un nombre de 100 chiffre en seulement 72 secondes. Ceci m'a insisté à faire une recherche à propos de cette nouvelle et aussi les secrets du calcul de la racine treizième.
Les secrets de la racine treizième [1]
Le calcul de la racine treizième d'un nombre x revient à calculer le nombre y dont sa treizième puissance donne exactement x. Autrement: x = y13 où x et y sont des nombres positifs.
Bien qu'il s'agisse de la racine officielle pour les records du monde de calcul mental et celle qui est le plus sujette à l'intérêt pour des raisons objectives, cette racine reste encore méconnue du grand public. Si l'on exclut les parties du site qui se rapportent aux racines 13èmes de 2, nous parlerons presque exclusivement des racines 13èmes entières. Cela ne veut pas du tout dire qu'on ne puisse pas extraire des racines treizièmes non entières, mais l'intérêt intrinsèque des racines 13èmes apparait pour des calculs entiers exacts. L'exemple le plus simple est la racine 13ème de 8192 qui vaut 2.8192 est 2 a la puissance 13.
Pourquoi des racines 13emes et non pas des racines carrées, cubiques, cinquième ou douzième?
Expliquons d'abord que, pour le même nombre de possibilités dans la réponse, certaines racines sont plus difficiles que d'autres. La comparaison se fait au nombre de possibilités et pas au nombre de chiffres de la puissance: En effet, la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres (environ 8 millions de possibilités) est en effet bien plus difficile que la racine 137ème d'un nombre de 1000 chiffres (comptant 330 000 possibilités seulement). Pour le même nombre de possibilités, ces 2 racines sont aussi difficiles.
Ordre de difficulté (exemples)
10 > 15 > 12 > 23 = 17 = 13 = 7 = 137 > 667 > 9 = 19 >11 > 21 > 101 > 1001 > 4 > 3 > 2 > 1
Tout d'abord, 13 est un nombre premier. Dans le cas d'une racine 9ème par exemple, on peut calculer successivement la racine cubique, puis la racine cubique. On ne peut pas décomposer une racine 13ème de cette façon.
Ensuite, 13 est le premier nombre a 2 chiffres de la forme 4n+1.
Il appartient a la suite 1,5,9,13,17,21,25... C'est dans ce cas, et uniquement dans ce cas que le chiffre des unités de la racine est systématiquement le même que le chiffre des unités de la puissance 13. Cette propriété est propre au système décimal et n'a pas de raison de s'observer dans un autre système. Ainsi:
013= 0
113= 1
213= 8 192
313= 1 594 323
413= 67 108 864
513= 1 220 703 125
613= 13 060 694 016
713= 96 889 010 407
813= 549 755 813 888
913= 2 541 865 828 329
...
On en déduit la première règle élémentaire:
- Pour calculer la racine 13ème d'un nombre de 13 chiffres ou moins il suffit de recopier le chiffre des unités, et pour déterminer le chiffre des unités de la racine 13eme il suffit de recopier le chiffre des unités de la puissance.
On peut maintenant se demander la différence qu'il peut y avoir avec les racines 5emes, 9èmes, 17èmes, 2èmes et 25èmes. Tout d'abord, un point négatif: très souvent, les racines 21èmes permettent de conserver les deux derniers chiffres, et non pas seulement 1 chiffre comme pour les racines 13èmes. De même les racines 101èmes on tendance à conserver 3 chiffres et ainsi de suite. Cependant, ces propriétés ont toujours des exceptions. L'intérêt des racines 13èmes s'observe en examinant de plus prés les 2 derniers chiffres de la racine.
Ce tableau donne les 2 derniers chiffres des puissances 13 des nombres inférieurs à 100, non divisibles par 10 (ce sont donc toutes les possibilités de suffixes à 2 chiffres pour les puissances 13 non divisibles par 10. Dans le cas des racines divisibles par 10, il y a 13 zéros dans la puissance et il suffit d'enlever les zéros pour continuer).
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -7 | -8 | -9 | |
| 0- | 01 | 92 | 23 | 64 | 25 | 16 | 07 | 88 | 29 |
| 1- | 31 | 72 | 53 | 44 | 75 | 96 | 37 | 68 | 59 |
| 2- | 61 | 52 | 83 | 24 | 25 | 76 | 67 | 48 | 89 |
| 3- | 91 | 32 | 13 | 04 | 75 | 56 | 97 | 28 | 19 |
| 4- | 21 | 12 | 43 | 84 | 25 | 36 | 27 | 08 | 49 |
| 5- | 51 | 92 | 73 | 64 | 75 | 16 | 57 | 88 | 79 |
| 6- | 81 | 72 | 03 | 44 | 25 | 96 | 87 | 68 | 09 |
| 7- | 11 | 52 | 33 | 24 | 75 | 76 | 17 | 48 | 39 |
| 8- | 41 | 32 | 63 | 04 | 25 | 56 | 47 | 28 | 69 |
| 9- | 71 | 12 | 93 | 84 | 75 | 36 | 77 | 08 | 99 |
Il y a plusieurs propriétés à remarquer:
- Une première remarque est qu'il y a une progression simple dans chaque colonne.
- La deuxième remarque est aussi intéressante: il y a une antisymétrie centrale.
- La troisième remarque est qu'on peut ranger chacune des colonnes dans l'une des 3 catégories:
- catégorie I: les colonnes 1,3,7 et 9. On obtient dans le désordre toutes les valeurs possibles: la catégorie I est bijective (par exemple tout nombre se terminant par 1 appartient a la première colonne).
- catégorie II: les colonnes 2,4,6 et 8. Seulement la moitie des valeurs sont présentes.
- catégorie V: colonne 5. Seulement une valeur sur cinq est présente:25 et 75.
Et voilà donc une caractéristique des racines 13emes : Il existe une catégorie bijective, ce qui n'est pas le cas des racines multiples de 5 comme la racine 5eme, 25ème, etc... Les racines qui ont alors des propriétés analogues aux racines 13emes sont les racines d'ordre 9, 13, 17 et 21 auxquels on peut additionner des multiples de 20. On montre qu'en rajoutant 20, on obtient dans le cas de la catégorie bijective les mêmes suffixes a deux chiffres:
Exemple: la table précédente est valable aussi pour les racines 33èmes, 53 èmes, 73 èmes, etc...
Mais ce n'est pas tout!
Intéressons-nous à la catégorie bijective.
Du fait des propriétés remarquées (antisymétrie centrale et progression arithmétique dans chaque colonne), la catégorie bijective peut se restreindre aux valeurs les plus élémentaires et donner ce tableau minimum:
| -1 | -3 | |
| 01 | 23 |
L'équivalence racine 13 ème / puissance 77ème
Du fait que la puissance 1001=13 * 77 conserve les 4 derniers chiffres, nous avons cette propriété pour les quatre derniers chiffres:
X13=Y <=> X=Y77
Les records modiaux en calcul mental de la racine treizième
Le calcul mental de la racine treizième d'un nombre est connu sous forme de deux preuves:
Calcul mental de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres,
Et récemmenet le calcul de la racine treizième d'un nombre de 200 chiffres.
Historique du record mondial du calcul de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres [2]
Nom |
Nationalité |
Temps en secondes |
Lieu, Pays |
Date |
| Herbert B. de Grote | mexicain | environ 1380 |
Mexique | 5 octobre 1970 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 322 |
Amsterdam, Pays-Bas | 19 septembre 1975 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 231 |
Stockholm, Suède | 8 novembre 1978 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 205 |
Providence, Ile de Rhodes | septembre 1979 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 186 |
Paris, France | novembre 1979 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 165 |
Leiden | mars 1980 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 129 |
Londres, Angleterre | 6 mai 1980 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 128 |
Berlin, Allemagne | 10 novembre 1980 |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 116 |
13 novembre 1980 | |
| Wilhelm Klein | néerlandais | 88.8 |
Tsukuba, Japon | 7 avril 1981 |
| Gert Mittring | allemand | 39.0 |
Allemagne | 26 mai 1988* |
| Alexis Lemaire | français | 24.48** |
Villers-Marmery, France | 10 mai 2002 |
| Alexis Lemaire | français | 13.55 |
Villers-Marmery, France | 10 mai 2002 |
* Date donnée par Gert Mittring
** Temps mesuré par les témoins/la video sans attestation
Historique du record mondial du calcul de la racine treizième d'un nombre de 200 chiffres [3]
Temps(secondes) |
# de tentatives |
Racine treizième |
Date |
Lieu |
Déteneur du record |
Nationalité |
Premier Témoin |
Second Témoin |
513.55 |
742 |
2391481494636373 | 06/04/2005 | Paris, France |
Alexis Lemaire |
France |
Jean Paul Delahaye |
Maitre Albou |
267.77 |
577 |
2396280083911011 | 03/06/2005 | Paris, France |
Alexis Lemaire |
France |
Laurent Demonet |
Maitre Albou |
Pour plus d'informations, veuillez se référer aux [4], [5] et [6].
Références
[1] http://www.13throot.com/intro.html
[2] http://www.13throot.com/100dig.htm
[3] http://www.13throot.com/13th_root_200digang.html
[4] http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexis_Lemaire
[5] http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_treizi%C3%A8me_d%27un_nombre_de_100_chiffres
[6] http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexis_Lemaire